線形代数入門：基本法則と積の性質

行列式は単なる数字以上のものであり、それは正方行列に対する 一意的なスカラ関数 幾何学的な「拡張係数」と代数的な可逆性を特徴づけるものです。積や転置に関する基本法則を理解することで、複雑な変換を単純な算術的ステップに分解できます。

積の性質の強力さ

行列式理論における最も重要な結果の一つは 積の法則です：

$$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$

この恒等式は、連続する変換の体積スケーリングが、それぞれのスケーリング係数の積であることを示しています。これにより、逆行列に関する直ちに導かれる結果が得られます：

行列 $A A^{-1} = I$ より、$\det(A A^{-1}) = \det(I) = 1$ となります。

積の法則より、$\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = 1$ です。

したがって、任意の可逆行列に対しては、$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$ が成り立ちます。

法則10は $\det A = \det A^T$を述べています。これは行と列の間の完璧な対称性を生み出します。行の交換や行の線形結合に関する証明は、列に対しても同様に適用されます。これにより、特殊なケースである 直交行列（$Q$）です：

行列式が 非線形 線形写像ではないことを忘れてはいけません。線形演算子では $f(A+B) = f(A) + f(B)$ が成り立ちますが、行列式では一般的に成り立ちません：

$$\det(A+B) \neq \det A + \det B$$

さらに、行列をスカラー $k$ 倍すると、$n \times n$ 行列では $\det(kA) = k^n \det A$ になります。なぜなら、$k$ は $n$ 行すべてにスケーリングされるからです。

🎯 核心公式

問題 1

4 × 4 行列 $A$ について $\det A = 1/2$ が成り立つとき、$\det(2A)$ および $\det(A^{-1})$ の値を求めなさい。

$\det(2A) = 8, \det(A^{-1}) = 2$

$\det(2A) = 1, \det(A^{-1}) = 2$

$\det(2A) = 16, \det(A^{-1}) = -1/2$

$\det(2A) = 8, \det(A^{-1}) = 1/2$

問題 2

3 × 3 行列 $A$ について $\det A = -1$ が成り立つとき、$\det(-A)$ の値は何か。

$-1$

問題 3

真偽：$AB - BA$ の行列式は常にゼロである。

偽

真

問題 4

$A = QR$（$Q$ は直交行列、$R$ は上三角行列）とするとき、$A^T A$ の値は何か。

$R^T R$

$R R^T$

$I$

$Q^T Q$

問題 5

すべての直交行列（$Q^T Q = I$）の行列式は 1 または -1 であることを証明せよ。

$Q^T Q = I$ に積の法則を適用すると、$(\det Q)^2 = 1$ となり、$\det Q = \pm 1$ です。

直交行列は恒等置換だから。

要素の和は常に 1 だから。

法則6により、行が独立しているから。